Il y a plus de 2500 ans, le mathématicien grec Pythagore a mis en lumière une relation étonnante entre les trois côtés d'un triangle rectangle. Cette relation sert encore aujourd'hui aux architectes, aux marins, au GPS et même aux jeux vidéo. Voici l'essentiel du cours, suivi d'un QCM pour t'auto-évaluer.
1. Le triangle rectangle
Un triangle est dit rectangle lorsqu'un de ses angles est un angle droit (90°), comme le coin d'une feuille. On le repère par un petit carré dans le coin. Le théorème de Pythagore ne concerne que ces triangles-là.
2. Hypoténuse et côtés de l'angle droit
- Les deux côtés qui forment l'angle droit s'appellent les côtés de l'angle droit (ou « cathètes »).
- Le plus grand côté, situé en face de l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse. C'est toujours le plus long.
Astuce : repère d'abord le petit carré de l'angle droit, puis cherche le côté qui ne le touche pas : c'est l'hypoténuse.
3. L'énoncé du théorème
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si l'angle droit est en A et l'hypoténuse est BC :
BC² = AB² + AC²
« Mettre au carré » un nombre, c'est le multiplier par lui-même : 5² = 5 × 5 = 25. L'image de couverture montre les trois carrés construits sur les côtés du triangle 3-4-5 : 9 + 16 = 25.
4. Calculer l'hypoténuse
Quand on connaît les deux côtés de l'angle droit, on trouve l'hypoténuse en trois étapes :
- On calcule a² et b², puis on les additionne.
- On obtient l'hypoténuse au carré.
- On prend la racine carrée (touche √ de la calculatrice) pour obtenir l'hypoténuse.
Exemple : côtés 3 et 4. On a 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc l'hypoténuse = √25 = 5. C'est le célèbre triangle 3-4-5.
5. Calculer un côté de l'angle droit
Si on connaît l'hypoténuse et un seul côté de l'angle droit, on utilise une soustraction : a² = c² − b², puis racine carrée.
Exemple : hypoténuse c = 13, côté b = 5. Alors a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc a = √144 = 12.
Attention : addition pour trouver l'hypoténuse, soustraction pour trouver un côté de l'angle droit. L'hypoténuse reste toujours le plus grand côté.
6. La réciproque : ce triangle est-il rectangle ?
Le théorème fonctionne aussi à l'envers. Avec les trois côtés connus, on vérifie :
- On prend le plus grand côté et on calcule son carré.
- On additionne les carrés des deux autres côtés.
- Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle ; sinon, il ne l'est pas.
Exemple : côtés 5, 5 et 7. On a 5² + 5² = 50, mais 7² = 49. Comme 50 ≠ 49, le triangle n'est pas rectangle.
7. Les triplets pythagoriciens
Certains triangles rectangles ont des côtés tous entiers : ce sont les triplets pythagoriciens. À connaître : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). En multipliant un triplet par un même nombre, on en obtient d'autres : (6, 8, 10), (9, 12, 15)…
Autrefois, les bâtisseurs traçaient des angles droits parfaits avec une corde à nœuds (3 + 4 + 5 = 12 intervalles), bien avant l'équerre.
8. Application : la distance entre deux points
Pour mesurer la distance « à vol d'oiseau » entre deux points, on forme un triangle rectangle : un déplacement horizontal, un déplacement vertical, et l'hypoténuse est la distance directe. C'est exactement le calcul que font le GPS et les jeux vidéo.
Exemple concret : une échelle a son pied à 6 m du mur et touche le mur à 8 m de hauteur. Sa longueur est √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 m.
9. Mémo des formules
- Énoncé : BC² = AB² + AC²
- Hypoténuse : BC = √(AB² + AC²)
- Côté de l'angle droit : AB = √(BC² − AC²)
- Vérifier (réciproque) : rectangle si grand² = petit² + moyen²
- Racine carrée : opération inverse du carré, √(n²) = n
Les 3 réflexes : ① repérer l'angle droit et l'hypoténuse ; ② addition pour l'hypoténuse, soustraction pour un côté ; ③ ne jamais oublier la racine carrée à la fin.
👇 Teste tes connaissances avec le QCM ci-dessous : 10 questions, correction immédiate.
