Intégrer, c'est calculer l'aire sous une courbe — et, plus largement, faire l'opération inverse de la dérivation. Ce cours t'explique l'essentiel, puis te propose 7 exemples corrigés, un pour chaque type d'exercice interactif disponible dans le questionnaire associé.

1. Qu'est-ce qu'une intégrale ?

Pour une fonction positive f, l'intégrale définie ∫ₐᵇ f(x) dx mesure l'aire comprise entre la courbe de f, l'axe des abscisses, et les deux droites verticales x = a et x = b.

On note a et b les bornes de l'intégrale : a est la borne du bas, b la borne du haut.

2. Les primitives

Une primitive de f est une fonction F telle que F'(x) = f(x). Trouver une primitive, c'est « remonter » la dérivation. Deux primitives d'une même fonction diffèrent seulement d'une constante.

Quelques primitives à connaître :

  • une primitive de xⁿ (n ≠ −1) est xⁿ⁺¹ / (n+1)
  • une primitive de 1/x est ln|x|
  • une primitive de cos(x) est sin(x)
  • une primitive de eˣ est eˣ

3. Le théorème fondamental de l'analyse

C'est le cœur du calcul intégral : si F est une primitive de f, alors

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

Autrement dit : on cherche une primitive, on l'évalue en b, puis en a, et on fait la différence.

4. Un calcul, pas à pas

Calculons ∫₀² 3x² dx :

  1. Une primitive de 3x² est x³ (car la dérivée de x³ est 3x²).
  2. On évalue : F(2) = 2³ = 8 et F(0) = 0³ = 0.
  3. On fait la différence : 8 − 0 = 8. L'aire vaut donc 8.

5. Sept exemples corrigés — un par type d'exercice

Voici un exemple de chacun des 7 types de questions interactives. Tu peux les refaire en vrai, notés, dans le questionnaire associé proposé en bas de cette page.

① QCM — une seule bonne réponse

Question : pour une fonction positive, que représente ∫ₐᵇ f(x) dx ?

  • ✅ L'aire sous la courbe entre a et b
  • La pente de la tangente en a
  • La valeur maximale de f sur [a, b]

② QCM — plusieurs bonnes réponses

Question : lesquelles de ces affirmations sont vraies ?

  • ✅ ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a) si F est une primitive de f
  • ✅ Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante
  • ✅ Une primitive de cos(x) est sin(x)
  • ❌ L'intégrale d'une fonction négative est toujours positive

③ Réponse chiffrée à saisir

Question : calcule ∫₀² 3x² dx.   Réponse : 8.

④ Réponse chiffrée avec tolérance

Question : donne une valeur approchée de ∫₁² (1/x) dx = ln(2), à 0,01 près.   Réponse : ≈ 0,69 (car ∫₁² dx/x = ln 2 ≈ 0,693).

⑤ Réponse texte à saisir

Question : comment appelle-t-on une fonction F telle que F'(x) = f(x) ?   Réponse : une primitive.

⑥ Texte à trous

Question : « L'opération inverse de la dérivation s'appelle l'[ … ]. Pour calculer une intégrale définie, on cherche d'abord une [ … ], puis on applique les [ … ]. »

Réponses : intégration · primitive · bornes.

⑦ Remettre dans l'ordre

Question : remets dans l'ordre les étapes du calcul d'une intégrale définie.

  1. Trouver une primitive F de f
  2. Évaluer F(b) puis F(a)
  3. Calculer la différence F(b) − F(a)

⑧ Associer par paires

Question : associe chaque fonction à l'une de ses primitives.

  • x² → x³/3
  • cos(x) → sin(x)
  • 1/x → ln|x|
  • eˣ → eˣ

6. À toi de jouer

Tu as vu les 7 types d'exercices appliqués aux intégrales. Passe maintenant au questionnaire interactif ci-dessous pour les refaire en vrai : tu tapes tes réponses, tu glisses pour remettre dans l'ordre, tu associes les paires — et tu obtiens ton score. Bon entraînement ! 📐